Три базовые задачи
Процент — это сотая часть числа. Запись 15 % означает 0,15, а 7 % — 0,07. Перевод процентов в десятичную дробь (делим на 100) сразу превращает почти любую задачу в обычное умножение или деление.
| Что ищем | Что делаем | Пример |
|---|---|---|
| процент от числа | умножаем | 0,15 · 240 = 36 |
| число по его проценту | делим | 18 : 0,3 = 60 |
| сколько процентов одно от другого | делим и умножаем на 100 | 27 : 300 = 0,09, то есть 9 % |
Определить тип задачи помогает простой вопрос: что именно неизвестно — часть, целое или само отношение. Если неизвестна часть, умножаем; если целое — делим; если спрашивают «сколько процентов» — делим часть на целое.
Для устного счёта полезны три опорных значения. Десять процентов — это перенос запятой на один знак влево: 10 % от 840 равно 84. Пять процентов — половина от десяти, то есть 42. Один процент — перенос запятой на два знака, то есть 8,4. Из этих кусочков собирается почти любой процент: 16 % от 840 — это 84 плюс 42 плюс 8,4, то есть 134,4.
Повышение и снижение: главная ловушка
Увеличить величину на 20 % — значит умножить её на 1,2. Уменьшить на 20 % — умножить на 0,8. Это быстрее, чем считать сам процент, а потом прибавлять или вычитать его.
- После подорожания: 800 · 1,25 = 1000 рублей.
- Скидку 25 % считают уже от новой цены: 1000 · 0,75 = 750 рублей.
- Итог: 750 рублей, а не исходные 800.
Ответ: 750 рублей — на 50 рублей меньше начальной цены
Цена не вернулась к исходной, потому что проценты считались от разных величин: сначала от 800, потом от 1000. Отсюда правило: проценты нельзя складывать и вычитать, пока не убедились, что у них одна и та же база.
Сложный процент: когда начисляют несколько раз
Если процент начисляется каждый год на уже выросшую сумму, множитель применяется столько раз, сколько было начислений.
- Через год: 20 000 · 1,08 = 21 600 рублей.
- Через два года: 21 600 · 1,08 = 23 328 рублей.
- Через три года: 23 328 · 1,08 = 25 194,24 рубля.
- Тот же результат короче: 20 000 · 1,08³, где 1,08³ = 1,259712.
Ответ: 25 194,24 рубля
Сравните: простой процент дал бы 8 % от 20 000, то есть 1600 рублей в год, а за три года — 24 800 рублей. Разница в 394,24 рубля и есть проценты, начисленные на проценты. Чем больше срок, тем сильнее расходятся два способа.
Задачи на концентрацию и смеси
Здесь работает одно правило: следите за количеством чистого вещества, а не за процентами. Проценты меняются, а граммы соли или кислоты при доливании воды остаются прежними.
- Находим массу соли: 0,15 · 40 = 6 г. Это число дальше не меняется.
- Новая масса раствора: 40 + 10 = 50 г.
- Новая концентрация: 6 : 50 = 0,12, то есть 12 %.
Ответ: 12 %
- Доливаем воду — масса вещества та же, масса раствора растёт, концентрация падает.
- Выпариваем воду — масса вещества та же, масса раствора уменьшается, концентрация растёт.
- Смешиваем два раствора — складываем отдельно массы веществ и отдельно общие массы, и только потом делим одно на другое.
Частые вопросы
Почему после скидки 25 % цена не вернулась к прежней?
Потому что надбавку считали от старой цены, а скидку — от новой, более высокой. База разная, поэтому итог ниже исходного: 800 рублей превратились в 750.
Как быстро перевести проценты в дробь?
Разделить на 100: 15 % равно 0,15, 7 % равно 0,07, 120 % равно 1,2.
Чем простой процент отличается от сложного?
При простом проценты каждый раз считают от начальной суммы, при сложном — от текущей, уже выросшей. На трёхлетнем вкладе 20 000 под 8 % разница составляет около 394 рублей.
Что делать в задаче про смешивание двух растворов?
Отдельно сложить массы чистого вещества из обоих растворов, отдельно — их общие массы, и разделить первое на второе. Проценты складывать напрямую нельзя.