Общий вид и коэффициенты
Квадратное уравнение имеет вид a·x² + b·x + c = 0, где a не равно нулю. Число a называют первым коэффициентом, b — вторым, c — свободным членом. Прежде чем что-то считать, уравнение нужно привести именно к этому виду: всё перенести в левую часть, а справа оставить ноль.
В уравнении 3x² − 5x + 2 = 0 коэффициенты равны a = 3, b = −5, c = 2. Знак минус — часть коэффициента, и это важнее, чем кажется: потеря минуса у b меняет дискриминант и, как следствие, оба корня.
Дискриминант и три случая
Дискриминант считают по формуле D = b² − 4·a·c. Его знак сразу говорит, сколько корней будет, ещё до того, как вы их найдёте.
| Дискриминант | Сколько корней | Как найти |
|---|---|---|
| D больше нуля | два корня | x = (−b ± √D) : (2·a) |
| D равен нулю | один корень | x = −b : (2·a) |
| D меньше нуля | действительных корней нет | ответ так и записывают |
- Выписываем коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.
- Считаем дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- Дискриминант больше нуля, корень из него равен 1, значит корней два.
- Первый корень: x = (5 + 1) : 2 = 3.
- Второй корень: x = (5 − 1) : 2 = 2.
- Проверяем меньший: 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. Верно.
Ответ: x = 2 и x = 3
Ещё два примера на оставшиеся случаи. В уравнении x² − 6x + 9 = 0 дискриминант равен 36 − 36 = 0, поэтому корень один: x = 6 : 2 = 3. В уравнении x² + x + 1 = 0 дискриминант равен 1 − 4 = −3, он отрицательный, значит действительных корней нет.
Неполные уравнения решаются быстрее
Если в уравнении отсутствует b или c, дискриминант считать не нужно — есть способ короче и надёжнее.
- Нет свободного члена, вид a·x² + b·x = 0: выносим x за скобку. Например, 2x² − 6x = 0 превращается в x(2x − 6) = 0, отсюда x = 0 или x = 3. Корень x = 0 здесь всегда есть, и его часто теряют.
- Нет второго коэффициента, вид a·x² + c = 0: переносим c и извлекаем корень. Например, x² − 9 = 0 даёт x² = 9, то есть x = 3 или x = −3. Второй корень тоже часто теряют.
- Если после переноса справа получилось отрицательное число, как в x² + 4 = 0, корней нет: квадрат числа не бывает отрицательным.
Главная ошибка в первом случае — сократить обе части на x. Так вы делите на неизвестное, которое может быть нулём, и корень x = 0 просто исчезает из ответа. Выносите множитель за скобку, а не сокращайте.
Теорема Виета: устный способ
Для приведённого уравнения, где a = 1 и вид такой: x² + p·x + q = 0, сумма корней равна −p, а произведение равно q. Это позволяет подобрать корни в уме, если они целые.
- Здесь p = −7 и q = 12.
- Сумма корней равна 7, произведение равно 12.
- Перебираем пары целых множителей числа 12: 1 и 12 дают сумму 13, 2 и 6 дают 8, 3 и 4 дают 7.
- Пара 3 и 4 подходит по обоим условиям.
Ответ: x = 3 и x = 4
Если подобрать целые корни не удалось за полминуты, их, скорее всего, и нет — переходите к дискриминанту. Теорема Виета экономит время на простых уравнениях, но не заменяет общий способ. Полезна она и для проверки: найденные через дискриминант корни 2 и 3 из примера выше дают сумму 5 и произведение 6 — ровно то, что обещают коэффициенты −5 и 6.
Частые вопросы
Что делать, если дискриминант отрицательный?
В школьном курсе до комплексных чисел ответ такой: действительных корней нет. Это полноценный ответ, а не признак ошибки — но дискриминант всё же стоит пересчитать, чаще всего минус теряют у коэффициента b.
Можно ли всегда решать через дискриминант, не используя Виета?
Да, формула дискриминанта работает для любого квадратного уравнения. Теорема Виета — просто быстрый способ для случаев с целыми корнями.
Почему у неполного уравнения нельзя сокращать на x?
Потому что x может равняться нулю, а делить на ноль нельзя. При сокращении корень x = 0 пропадает из ответа. Правильно — выносить x за скобку.
Как проверить найденные корни?
Подставить каждый в исходное уравнение — должно получиться 0 = 0. Либо сверить сумму и произведение корней с теоремой Виета.